80 Yıllık Rekoru Kıran ‘Mücevher’ Kanıtı, Asal Sayılara Yeni Bakış Açıları Sunuyor

Orijinal versiyon ile ilgili bu hikaye ortaya çıktı Quanta Dergisi.

Bazen matematikçiler bir problemi doğrudan ele almaya çalışırlar ve bazen de yan yollardan yaklaşırlar. Bu, özellikle matematiksel bahisler yüksek olduğunda geçerlidir, örneğin çözümü Clay Matematik Enstitüsü’nden 1 milyon dolarlık ödül alan Riemann hipotezi gibi. Kanıtı, matematikçilere asal sayıların nasıl dağıtıldığı konusunda çok daha derin bir kesinlik sağlarken, aynı zamanda bir dizi başka sonucu da ima eder ve bu da onu tartışmasız matematikteki en önemli açık soru haline getirir.

Matematikçiler Riemann hipotezini nasıl kanıtlayacakları konusunda hiçbir fikre sahip değiller. Ancak, buna ilişkin olası istisnaların sayısının sınırlı olduğunu göstererek yine de yararlı sonuçlar elde edebilirler. “Birçok durumda, bu Riemann hipotezinin kendisi kadar iyi olabilir,” dedi James Maynard Oxford Üniversitesi’nden. “Bundan asal sayılar hakkında benzer sonuçlar elde edebiliriz.”

Birinde çığır açan sonuç Mayıs ayında çevrimiçi olarak yayınlandı, Maynard ve Larry Guth Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nden bir uzman, belirli bir türdeki istisnaların sayısına yeni bir sınır koyarak, sonunda 80 yıldan daha önce kırılmış bir rekoru kırdı. “Bu sansasyonel bir sonuç,” dedi Henryk Iwaniec Rutgers Üniversitesi’nden. “Çok, çok, çok zor. Ama bir mücevher.”

Yeni kanıt, sayı doğrusunda kısa aralıklarda kaç tane asal sayının bulunduğuna dair daha iyi yaklaşımlara otomatik olarak yol açıyor ve asal sayıların nasıl davrandığına dair birçok başka fikir sunması bekleniyor.

Dikkatli Bir Yan Adım

Riemann hipotezi, sayılar teorisinde Riemann zeta fonksiyonu adı verilen merkezi bir formül hakkında bir ifadedir. Zeta (ζ) fonksiyonu, basit bir toplamın genelleştirilmesidir:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.

Bu seri, daha fazla terim eklendikçe keyfi olarak büyük hale gelecektir; matematikçiler bunun ıraksadığını söyler. Ancak bunun yerine, şunu toplasaydınız

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯

π elde edersin²/6 veya yaklaşık 1.64. Riemann’ın şaşırtıcı derecede güçlü fikri, bunun gibi bir seriyi şu şekilde bir fonksiyona dönüştürmekti:

ζ(S) = 1 + 1/2^S + 1/3^S + 1/4^S + 1/5^S + ⋯.

Yani ζ(1) sonsuzdur, ancak ζ(2) = π²/6.

Bıraktığınızda işler gerçekten ilginçleşiyor S karmaşık bir sayı olsun, iki kısmı vardır: günlük bir sayı olan “gerçek” kısım ve günlük bir sayının -1’in karekökü ile çarpılmış hali olan “hayali” kısım (veya Ben(Matematikçilerin yazdığı gibi) Karmaşık sayılar, gerçek kısmın üstte olduğu bir düzlemde çizilebilir. X-eksen ve sanal kısım ve-eksen. Örneğin burada 3 + 4Ben.